1. Ratio Sharpe

\[S_p=\frac{E_p-R_f}{\ \sigma_p}\]

Donde,

• \(S_p\), es ratio de Sharpe.
• \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera \(p\).
• \(R_f\), es la rentabilidad del activo sin riego.
• \(\sigma_p\), es la volatilidad (riesgo) de la cartera \(p\).

1. Fondo A

\[S_A=\frac{E_A-R_f}{ \sigma_A}=\frac{0.195-0.0125}{ 0.1015}=1.79803\] b. Fondo B

\[S_B=\frac{E_B-R_f}{ \sigma_B}=\frac{0.166-0.0125}{ 0.112}=1.37054\]

2. Ratio Treynor

\[T_p=\frac{E_p-R_f}{\ \beta_p}\]

Donde,

• \(S_p\), es ratio de Sharpe.
• \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera \(p\).
• \(R_f\), es la rentabilidad del activo sin riego.
• \(\beta_p\), es la beta (sensibilidad a los movimientos del mercado) de la cartera \(p\).

1. Fondo A

\[T_A=\frac{E_A-R_f}{\ \beta_A}=\frac{0.195-0.0125}{0.75}=0.24333\] a. Fondo B

\[T_B=\frac{E_B-R_f}{\ \beta_B}=\frac{0.166-0.0125}{0.95}=0.16158\] 3) Ratio de información

Para ello tenemos que calcular en primer lugar el alfa de cada fondo,

\[\alpha_p=E_p-\beta_p \cdot E_m\]

Donde,

• \(\alpha_p\), es el alpha de Jensen de la cartera \(p\).
• \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera \(p\).
• \(\beta_p\), es la beta de la cartera \(p\).
• \(R_f\), es la rentabilidad de la cartera de mercado \(m\).

1. Alfa Fondo A

\[\alpha_A=E_A-\beta_A \cdot E_m=0.195-0.75\cdot 0.15=0.0825\] b. Alfa Fondo B

\[\alpha_A=E_A-\beta_A \cdot E_m=0.166-0.95\cdot 0.15=0.0235\]

En segundo lugar su tracking error,

\[\sigma_{\alpha,p}=\sqrt{\sigma_p^2-\beta_p^2\cdot \sigma_m^2}\]

Donde,

• \(\sigma_{\alpha,p}\), es la desviación típica (volatilidad o riesgo) del alpha de Jensen respecto de la cartera \(p\).
• \(\sigma_p^2\), es la varianza de la cartera \(p\).
• \(\beta_p^2\), es la beta al cuadrado de la cartera \(p\).
• \(\sigma_m\), es la varianza al cuadrado de la cartera de mercado (o benchmark) \(m\).

3. Tracking Error Fondo A

\[\sigma_{\alpha,A}=\sqrt{\sigma_A^2-\beta_A^2\cdot \sigma_m^2}=\\=\sqrt{0.1015^2-0.75^2\cdot 0.103^2}=0.06584\]

4. Tracking Error Fondo B

\[\sigma_{\alpha,B}=\sqrt{\sigma_B^2-\beta_B^2\cdot \sigma_m^2}=\\=\sqrt{0.112^2-0.95^2\cdot 0.103^2}=0.05449\]

Y finalmente calculamos el ratio de información,

\[RI=\frac{\alpha_p}{\sigma_{\alpha,p}}\]

Donde,

• \(\alpha_p\), es el alpha de Jensen de la cartera \(p\).
• \(\sigma_{\alpha,p}\), es la desviación típica (volatilidad o riesgo) del alpha de Jensen respecto de la cartera \(p\) (tracking error).

5. Ratio de información (Fondo A)

\[RI_{A}=\frac{\alpha_A}{\sigma_{\alpha,A}}=\frac{0.0825}{0.06584}=1.25304\] f. Ratio de información (Fondo B)

\[RI_{B}=\frac{\alpha_B}{\sigma_{\alpha,B}}=\frac{0.0235}{0.05449}=0.4317\]

4. Alfan de Jensen

\[\alpha_p=E_p-\left[R_f+\left(E_m-R_f\right)\cdot\beta_p\right]\]

Donde,

• \(\alpha_p\), es el alpha de Jensen.
• \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera \(p\).
• \(R_f\), es la rentabilidad del activo sin riego.
• \(\beta_p\), es la beta (sensibilidad a los movimientos del mercado) de la cartera \(p\).

1. Alfan Jensen Fondo A

\[\alpha_A=E_A-\left[R_f+\left(E_m-R_f\right)\cdot\beta_A\right]=\\=0.195-\left[0.0125+\left(0.15-0.0125\right)\cdot0.75\right]=0.07938\] b. Alfan Jensen Fondo B

\[\alpha_B=E_B-\left[R_f+\left(E_m-R_f\right)\cdot\beta_B\right]=\\=0.166-\left[0.0125+\left(0.15-0.0125\right)\cdot0.95\right]=0.02287\]

5. Tabla resumen de la performance

Dato:	Fondo A	Fondo B
1) Ratio Sharpe \(S\)	1,79803	1,37054
2) Ratio Treynor \(T\)	0,24333	0,16158
3) Ratio de información \(RI\)	1,25304	0,4317
4) Alpha de Jensen \(\alpha\)	0,07938	0,0288

1. Del valor numérico del ratio de Sharpe podemos extraer algunas conclusiones. En términos de rentabilidad, mientras mayor sea el índice de Sharpe, mejor es la rentabilidad del fondo comparado directamente a la cantidad de riesgo que se ha asumido en la inversion. Si el índice o ratio de Sharpe es negativo, indica un rendimiento inferior a la rentabilidad sin riesgo. Todo ratio de Sharpe inferior a uno significa que el rendimiento del activo es inferior al riesgo que estamos asumiendo al invertir en un activo determinado. Cuando la volatilidad del fondo de inversión es grande, asumimos más riesgo y por ende el ratio de Sharpe será menor, a no ser que el rendimiento del fondo en concreto compense esa mayor rentabilidad.
2. El Ratio Treynor mide el diferencial de rentabilidad obtenido sobre el activo libre de riesgo por unidad de riesgo sistemático o no diversificable del fondo, representado por su Beta. Tomar el riesgo sistemático como medida de riesgo implica suponer que los gestores de los fondos administran sus carteras de forma eficiente, es decir, que anulan el reisgo específico de los activos mediante la diversificación; es razonable, por tanto, remunerar a los inversores únicamente por el riesgo sistemático que soportan. Podemos concluir que cuanto mayor sea el ratio de Treynor mejor habrá sido la gestión del fondo en el pasado.
3. El ratio de información nos indica el exceso de rentabilidad en función del tracking error del Fondo, de modo que si el Fondo tiene un ratio de información alto el gestor está obteniendo rentabilidad adicional por el hecho de separarse del benchmark.
4. Para un \(\alpha>0\) el fondo está infravalorado y representa una oportunidad de inversión; para \(\alpha<0\) el fondo está sobrevalorado y por tanto no ofrece suficiente renrtabilidad a los inversores racionales para aceptar su nivel de riesgo sistemático. Luego, la cartera con mayor alpha representa una mejor oportunidad de inversión.

Conclusión: escogeríamos el Fondo A por presentar ratios más altos que el fondo B (ratio de Sharpe, Treynor y Ratio de información) y un alfa de Jensen también superior.