Gestión de Carteras (fórmulas) | abernat

Gestión de Carteras (fórmulas)

 

<p>
  <span class="math display">\[B/P\,(€)=P_t-P_{t-1}\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(B/P\,(€)\)</span>, es el beneficio o pérdida del periodo <span class="math inline">\(t, t-1\)</span> expresado en términos absolutos (euros).
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(P_t\)</span>, es el precio final.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(P_{t-1}\)</span>, es el precio inicial.
  </li>
</ul>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="2">
  <li>
    Beneficio/pérdida con dividendo
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[B/P\,(€)=(P_t+D_t)-P_{t-1}\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(B/P\,(€)\)</span>, es el beneficio o pérdida del periodo <span class="math inline">\(t, t-1\)</span> expresado en términos absolutos (euros).
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(D_t\)</span>, es el dividendo bruto en el momento t (se presume realizado a la fecha final sin necesidad de capitalizarlo, dado que su precio suele ser muy pequeño en relación con el precio del activo).
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(P_t\)</span>, es el precio final.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(P_{t-1}\)</span>, es el precio inicial.
  </li>
</ul>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="3">
  <li>
    Rentabilidad simple (o rendimiento) sin dividendo
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[RS_t=\frac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}}\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(RS_t\)</span>, es la rentabilidad del periodo <span class="math inline">\(t, t-1\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(P_t\)</span>, es el precio final.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(P_{t-1}\)</span>, es el precio inicial.
  </li>
</ul>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="4">
  <li>
    Rentabilidad simple (o rendimiento) con dividendo
  </li>
</ol>

<p>
  <span class="math display">\[RS_t=\frac{(P_t-P_{t-1})+D_t}{P_{t-1}}\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(RS_t\)</span>, es la rentabilidad del periodo <span class="math inline">\(t, t-1\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(P_t\)</span>, es el precio final.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(P_{t-1}\)</span>, es el precio inicial.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(D_t\)</span>, es el dividendo bruto en el momento t (se presume realizado a la fecha final sin necesidad de capitalizarlo, dado que su precio suele ser muy pequeño en relación con el precio del activo).
  </li>
</ul>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="5">
  <li>
    Rentabilidad histórica (media aritmética)
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[R_t=\frac{RS_1+RS_2+&#8230;+RS_n}{n}\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(R_t\)</span>, es la rentabilidad del periodo <span class="math inline">\(1, n\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(RS_n\)</span>, es rentabilidad simple del subperiodo <span class="math inline">\(n\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(n\)</span>, es el número de subperiodos.
  </li>
</ul>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="6">
  <li>
    Tasa Geométrica de Rentabilidad (media geométrica)
  </li>
</ol>

<p>
  <span class="math display">\[TGR=\sqrt{\left(1+RS_1\right)\cdot\left(1+RS_2\right)\cdot&#8230;\cdot\left(1+RS_n\right)}-1\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(R_t\)</span>, es la rentabilidad del periodo <span class="math inline">\(1, n\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(RS_n\)</span>, es rentabilidad simple del subperiodo <span class="math inline">\(n\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(n\)</span>, es el número de subperiodos.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: la Tasa Geométrica de Rentabilidad (<em>Time-weighted rate of return</em>) es considerada la rentabilidad del gestor de la cartera.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="7">
  <li>
    Tasa Interna de Retorno (TIR)
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[TIR=\sum_{t=0}^n\frac{F_n}{\left(1+i\right)^n}\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(TIR\)</span>, es la Tasa Interna de Retorno de la inversión realizada.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(F_t\)</span>, representa los flujos de caja del periodo <span class="math inline">\(n\)</span>; igresos (+) y retiradas (-).
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(n\)</span>, es el número de periodos considerado.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(i\)</span>, es el tipo de interés, tasa de descuento o coste del capital.
  </li>
</ul>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="8">
  <li>
    Rentabilidad esperada de un título
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[E_i=RS_1\cdot p_1+RS_2\cdot p_2\cdot&#8230;\cdot RS_n\cdot p_n\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_i\)</span>, es la rentabilidad esperada del título <span class="math inline">\(i\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(RS_n\)</span>, es la rentabilidad simple del subperiodo <span class="math inline">\(n\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(p_n\)</span>, es probabilidad de que ocurra el suceso considerado.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: en el caso de no estar anualizada la rentabilidad anual sería,
</p>

<p>
  <span class="math display">\[E_{anual}=N\cdot E_i\]</span> Donde,
</p>

<p>
  <span class="math inline">\(E_{anual}\)</span>, es la rentabilidad esperada anual del título <span class="math inline">\(i\)</span>.
</p>

<p>
  <span class="math inline">\(N\)</span>, es el número de sesiones (si es cotizado) o días del año.
</p>

<p>
  <span class="math inline">\(E_i\)</span>, es la rentabilidad esperada del título <span class="math inline">\(i\)</span>.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="9">
  <li>
    Rentabilidad esperada de una cartera
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[E_p=w_1\cdot E_1+w_2\cdot E_2+&#8230;+w_n\cdot E_n\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_p\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_n\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(n\)</span> dentro de la cartera.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_n\)</span>, es rentabilidad esperada del activo <span class="math inline">\(n\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(R_n\)</span>, es rentabilidad esperada del activo <span class="math inline">\(n\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="10">
  <li>
    Volatilidad (riesgo) de un título
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[\sigma_i=\sqrt{p_1\cdot\left(RS_1-E_i\right)^2+p_2\cdot\left(RS_2-E_i\right)^2\cdot&#8230;..\cdot p_n\cdot\left(RS_n-E_i\right)^2}\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_i\)</span>, es la volatilidad (riesgo) del título <span class="math inline">\(i\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(p_n\)</span>, es probabilidad de que ocurra el suceso considerado.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(RS_n\)</span>, es la rentabilidad simple del subperiodo <span class="math inline">\(n\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_i\)</span>, es rentabilidad esperada del activo <span class="math inline">\(i\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="11">
  <li>
    Volatilidad (riesgo) de una cartera
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[\sigma_p=\sqrt{w_{1}^2\cdot\sigma_1^2+w_2^2\cdot\sigma_2^2+2\cdot w_1\cdot w_2\cdot\sigma_{1,2}}\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_p\)</span>, es la volatilidad (riesgo) de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_1\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(1\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_1\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(1\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_2\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(2\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  <span class="math inline">\(\sigma_2\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(2\)</span>.
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma{1,2}\)</span>, es la covarianza entre los activos 1 y 2 (o 2 y 1, puesto que estas son simétricas).
  </li>
</ul>

<p>
  También podemos escribir la volatilidad de la cartera en función del coeficiente de correlación:
</p>

<p>
  <span class="math display">\[\sigma_p=\sqrt{w_{1}^2\cdot\sigma_1^2+w_2^2\cdot\sigma_2^2+2\cdot w_1\cdot w_2\cdot\rho_{1,2}\cdot\sigma_{1}\cdot\sigma_{2}}\]</span> Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_p\)</span>, es la volatilidad (riesgo) de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_1\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(1\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_1\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(1\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_2\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(2\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_2\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(2\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\rho_{1,2}\)</span>, es el coeficiente de correlación entre los activos 1 y 2.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: si partimos de la relación que existe entre la covarianza de los activos 1 y 2 y el coeficiente de correlación tenemos que,
</p>

<p>
  <span class="math display">\[\rho_{1,2}=\frac{\sigma_{1,2}}{\sigma_1\cdot\sigma_2}\]</span> Luego al despejar la covarianza tenemos que,
</p>

<p>
  <span class="math display">\[\sigma_{1,2}=\rho_{1,2}\cdot\sigma_1\cdot\sigma_2\]</span> Por lo que podremos calcular la volatilidad (riesgo) de una cartera tanto si conocemos su covarianza como si conocemos su coeficiente de correlación.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="12">
  <li>
    Coeficiente de correlación
  </li>
</ol>

<p>
  <span class="math display">\[\rho_{1,2}=\frac{\sigma_{1,2}}{\sigma_1\cdot\sigma_2}\]</span> Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(\rho_{1,2}\)</span>, es el coeficiente de correlación entre los activos 1 y 2.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_{1,2}\)</span>, es la covarianza entre los activos 1 y 2 (o 2 y 1, puesto que estas son simétricas).
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_1\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(1\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_2\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(2\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<p>
  <strong>Markowitz</strong>
</p>

<ol style="list-style-type: decimal;" start="13">
  <li>
    Cartera de mínimo riesgo (con correlación positiva perfecta <span class="math inline">\(\rho=+1\)</span> )
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[\sigma_p=w_1\cdot\sigma_1+w_2\cdot\sigma_2\]</span> Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_p\)</span>, es la volatilidad (riesgo) de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_1\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(1\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_1\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(1\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_2\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(2\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_2\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(2\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Luego, si la correlación es 1 no existirá ninguna diversificación, por lo que la varianza de la cartera será, al igual que la rentabilidad, una media ponderada. Donde, la cartera de mínimo riesgo estará formada en su totalidad por el título de menor riesgo.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="14">
  <li>
    Cartera de mínimo riesgo (con correlación nula <span class="math inline">\(\rho=0\)</span> )
  </li>
</ol>

<p>
  <span class="math display">\[\sigma_p=\sqrt{w_1\cdot\sigma_1+w_2\cdot\sigma_2}\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_p\)</span>, es la volatilidad (riesgo) de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_1\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(1\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_1\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(1\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_2\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(2\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_2\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(2\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  <span class="math display">\[w_1=\frac{\sigma_{2}^2 }{\sigma_1^2\cdot \sigma_2^2 }\]</span>
</p>

<p>
  <span class="math display">\[w_2=\frac{\sigma_{1}^2 }{\sigma_1^2\cdot \sigma_2^2 }\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_1\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(1\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_2\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(2\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_1\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(1\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_2\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(2\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: si el coeficiente de correlación entre ambos títulos es igual a cero (<span class="math inline">\(\rho=0\)</span>), los rendimientos de ambos títulos son independientes entre sí al no estar afectados por factores comunes. Así que cualquier comportamiento similar será debido al azar.
</p>

<p>
  Por tanto, cuando dos títulos no están correlacionados entre sí <strong>no se debería</strong> invertir todo el presupuesto en el título de menor riesgo y menor rendimiento, la razón es que hay combinaciones de ambos títulos que proporcionan más rendimiento y el mismo riesgo.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="15">
  <li>
    Cartera de mínimo riesgo (con correlación nula <span class="math inline">\(\rho=-1\)</span> )
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[\sigma_p=|w_1\cdot\sigma_1-w_2\cdot\sigma_2|\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_p\)</span>, es la volatilidad (riesgo) de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_1\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(1\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_1\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(1\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_2\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(2\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_2\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(2\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  <span class="math display">\[w_1=\frac{\sigma_{2}}{\sigma_1\cdot \sigma_2 }\]</span>
</p>

<p>
  <span class="math display">\[w_2=\frac{\sigma_{1}}{\sigma_1\cdot \sigma_2 }\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_1\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(1\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_2\)</span>, es la ponderación (o proporción) del activo <span class="math inline">\(2\)</span> dentro de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_1\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(1\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_2\)</span>, es la varianza del título <span class="math inline">\(2\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: Si la correlación entre ambos títulos es perfectamente negativa (<span class="math inline">\(\rho=-1\)</span>), querrá decir que el comportamiento del rendimiento de cada activo es opuesto al del otro.
</p>

<p>
  Aunque este es un caso que difícilmente se dará en la práctica su utilidad teórica es grande. Por rtanto, la diversificación seleccionando activos con coeficientes de correlación negativos permite reducir el riesgo de una cartera, e incluso anularlo.
</p>

<p>
  Siendo la rentabilidad esperada:
</p>

<p>
  <span class="math display">\[E_p=\frac{E_1\cdot\sigma_1+E_2\cdot\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}\]</span>
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<p>
  <strong>CAPM (Capital Asset Pricing Model) </strong>
</p>

<ol style="list-style-type: decimal;" start="16">
  <li>
    CML (Capital Market Line)
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[E_p=R_f+\left(\frac{E_m-R_f}{\sigma_m}\right)\cdot\sigma_p\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_p\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(R_f\)</span>, es la rentabilidad del activo sin riego.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_m\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera de mercado.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_m\)</span>, es la volatilidad (o riesgo) de la cartera de mercado.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_p\)</span>, es la la volatilidad (o riesgo) de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Siendo las proporciones del activo sin riesgo,
</p>

<p>
  <span class="math display">\[x_0=\frac{R_f-E_p}{R_f-E_m}\]</span> En el caso que fijemos la rentabilidad esperada.Y,
</p>

<p>
  <span class="math display">\[x_0^*=\frac{\sigma_m-\sigma_p}{\sigma_m}\]</span> En el caso que fijemos la volatilidad (riesgo) a asumir.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="17">
  <li>
    SML (Security Market Line)
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[E_i=R_f+(E_m-R_f)\cdot\beta_i\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_p\)</span>, es la rentabilidad esperada del título <span class="math inline">\(i\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(R_f\)</span>, es la rentabilidad del activo sin riego.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_m\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera de mercado.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\beta_i\)</span>, es la beta del título <span class="math inline">\(i\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  luego,
</p>

<p>
  <span class="math display">\[E_i>SML\Rightarrow el\ activo\ se\ encuentar\ infravalorado\]</span>
</p>

<p>
  <span class="math display">\[E_i<SML\Rightarrow el\ activo\ se\ encuentar\ sobrevalorado\]</span>
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<p>
  <strong>Rentabilidad ajustada por riesgo</strong>
</p>

<ol style="list-style-type: decimal;" start="18">
  <li>
    Ratio de Sharpe
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[S_p=\frac{E_p-R_f}{\ \sigma_p}\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(S_p\)</span>, es ratio de Sharpe.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_p\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(R_f\)</span>, es la rentabilidad del activo sin riego.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_p\)</span>, es la volatilidad (riesgo) de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: del valor numérico del ratio de Sharpe podemos extraer algunas conclusiones. En términos de rentabilidad, mientras mayor sea el índice de Sharpe, mejor es la rentabilidad del fondo comparado directamente a la cantidad de riesgo que se ha asumido en la inversion. Si el índice o ratio de Sharpe es negativo, indica un rendimiento inferior a la rentabilidad sin riesgo. Todo ratio de Sharpe inferior a uno significa que el rendimiento del activo es inferior al riesgo que estamos asumiendo al invertir en un activo determinado. Cuando la volatilidad del fondo de inversión es grande, asumimos más riesgo y por ende el ratio de Sharpe será menor, a no ser que el rendimiento del fondo en concreto compense esa mayor rentabilidad.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="19">
  <li>
    Ratio de Treynor
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[T_p=\frac{E_p-R_f}{\ \beta_p}\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(S_p\)</span>, es ratio de Sharpe.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_p\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(R_f\)</span>, es la rentabilidad del activo sin riego.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\beta_p\)</span>, es la beta (sensibilidad a los movimientos del mercado) de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: comparando varios activos a mayor ratio de Treynor, mayor rentabilidad ajustada por riesgo.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="20">
  <li>
    Alpha de Jensen
  </li>
</ol>

<p>
  <span class="math display">\[\alpha_p=E_p-\left[R_f+\left(E_m-R_f\right)\cdot\beta_p\right]\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(\alpha_p\)</span>, es el alpha de Jensen.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_p\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(R_f\)</span>, es la rentabilidad del activo sin riego.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\beta_p\)</span>, es la beta (sensibilidad a los movimientos del mercado) de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: comparando varias carteras de activos para <span class="math inline">\(\alpha>0\)</span> la cartera está infravalorada y representa una oportunidad de inversión; para <span class="math inline">\(\alpha<0\)</span> la cartera está sobrevalorada y por tantnto no ofrece suficiente renrtabilidad a los inversores racionales para aceptar su nivel de riesgo sistemático.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="21">
  <li>
    Ratio de Información
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[RI=\frac{\alpha_p}{\sigma_{\alpha,p}}\]</span> Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(\alpha_p\)</span>, es el alpha de Jensen de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_{\alpha,p}\)</span>, es la desviación típica (volatilidad o riesgo) del alpha de Jensen respecto de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: el resultado del Information Ratio refleja cuanta rentabilidad de más obtiene el fondo o cartera (respecto a su índice de referencia) por una unidad de riesgo de desviación del índice de referencia (que es el Tracking Error). Cuanto mayor sea este Ratio mejor.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="22">
  <li>
    Tracking-Error (o error de <em>tracking</em>)
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[\sigma_{\alpha,p}=\sqrt{\sigma_p^2-\beta_p^2\cdot \sigma_m^2}\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_{\alpha,p}\)</span>, es la desviación típica (volatilidad o riesgo) del alpha de Jensen respecto de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_p^2\)</span>, es la varianza de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\beta_p^2\)</span>, es la beta al cuadrado de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_m\)</span>, es la varianza al cuadrado de la cartera de mercado (o <em>benchmark</em>) <span class="math inline">\(m\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="23">
  <li>
    Alpha de la cartera <span class="math inline">\(\alpha_p\)</span>
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[\alpha_p=E_p-\beta_p \cdot E_m\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(\alpha_p\)</span>, es el alpha de Jensen de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_p\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\beta_p\)</span>, es la beta de la cartera <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(R_f\)</span>, es la rentabilidad de la cartera de mercado <span class="math inline">\(m\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: mide la diferencia de rentabilidad entre la cartera o fondo <span class="math inline">\(p\)</span> y su índice de referencia o benchmark, mostrando la volatilidad de la diferencia de rentabilidad.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<p>
  <strong>Atribución de resultados</strong>
</p>

<ol style="list-style-type: decimal;" start="24">
  <li>
    Ganancia del gestor total
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[G_{total}=E_p-E_m\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(G_{total}\)</span>, es la ganacia total obtenida por el gestor de la cartera (o fondo).
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_p\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera (o fondo) <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_m\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera de mercado <span class="math inline">\(m\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="25">
  <li>
    Aportación por selección (security selection)
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[S_{selection}=E_p-E_{m,p}\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(S_{selection}\)</span>, es la ganacia total obtenida por el gestor de la cartera (o fondo).
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_p\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera (o fondo) <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_{p,m}\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera de mercado respecto del benchmark <span class="math inline">\(m\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: nos muestra el exceso/defecto de rentabilidad obtenido debido a la elección de activos específicos dentro de cada tipología de activos.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="26">
  <li>
    Aportación por estrategia (asset allocation)
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[A_{allocation}= E_{m,p}-E_p\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(A_{allocation}\)</span>, es la ganacia total obtenida por el gestor de la cartera (o fondo).
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_{p,m}\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera de mercado respecto del benchmark <span class="math inline">\(m\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_p\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera (o fondo) <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: esta medida de resultados nos muestra si como se ha conportado la cartera en cuanto a la asignación de los tipos de activos y su distribución sectorial y geográfica.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="27">
  <li>
    Beta de una cartera
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[\beta_p=w_1\cdot\beta_1+w_2\cdot\beta_2+&#8230;+w_n\cdot\beta_n\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(\beta_p\)</span>, es la beta de la cartera (o fondo) <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(w_n\)</span>, es la ponderación del activo <span class="math inline">\(n\)</span> dentro de la de cartera de activos <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\beta_n\)</span>, es la beta del activo <span class="math inline">\(n\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: la Beta de una cartera es el nivel de relación que existe entre el rendimiento de nuestra cartera y el mercado, expresado en un índice. Para el caso de las acciones, en España, se podría tomar como ejemplo el IBEX-35.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="28">
  <li>
    Índice de Modigliani <span class="math inline">\(M^2\)</span>
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[M^2=(S_a-S_b)\cdot\sigma_b\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(M^2\)</span>, es el índice de Modigliani .
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(S_a\)</span>, es el ratio de Sharpe del activo <span class="math inline">\(a\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(S_b\)</span>, es el ratio de Sharpe del activo <span class="math inline">\(b\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\sigma_b\)</span>, es la volatilidad del activo <span class="math inline">\(b\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: el índice de Modigliani da una visión global de la bondad de gestión de los fondos y suele emplearse para discriminiar en un universo amplio de fondos. Podemos concluir que cuanto mayor es el índice de Modigliani, mejor ha sido la gestión del fondo.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="29">
  <li>
    Índice <span class="math inline">\(T^2\)</span> (análogo al <span class="math inline">\(M^2\)</span> pero utiliza el ratio de Treynor en lugar del ratio de Sharpe)
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[T^2=(T_a-T_b)\cdot\beta_b\]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(M^2\)</span>, es el índice de Modigliani .
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(S_a\)</span>, es el ratio de Sharpe del activo <span class="math inline">\(a\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(S_b\)</span>, es el ratio de Sharpe del activo <span class="math inline">\(b\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(\beta_b\)</span>, es la beta del activo <span class="math inline">\(b\)</span>.
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: cuanto mayor es el índice <span class="math inline">\(T^2\)</span>, mejor ha sido la gestión del fondo.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

<ol style="list-style-type: decimal;" start="30">
  <li>
    Ratio de Sortino
  </li>
</ol>

<p>
  &nbsp;
</p>

<p>
  <span class="math display">\[Sortino = \frac {( E_p – R_f )}{d} \]</span>
</p>

<p>
  Donde,
</p>

<ul>
  <li>
    <span class="math inline">\(E_p\)</span>, es la rentabilidad esperada de la cartera (o fondo) <span class="math inline">\(p\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(R_f\)</span>, es la rentabilidad de la cartera de mercado <span class="math inline">\(m\)</span>.
  </li>
  <li>
    <span class="math inline">\(d\)</span>, es la desviación estándar de los rendimientos negativos (downside risk).
  </li>
</ul>

<p>
  Nota: la interpretación del ratio se vería como el exceso de rendimiento por encima de un determinado objetivo por unidad de riesgo a la baja. Lógicamente, cuanto mayor sea el valor del ratio mejor será la estrategia en términos del riesgo asumido.
</p>

<p>
  &nbsp;
</p>

<hr />

 

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