- Precio de una letra hasta un año (capitalización simple).
$$P_0=\frac{100}{\left(1+i\cdot\frac{d}{360}\right)}$$
donde,
- (P_0), es el precio de la letra, expresado en porcentaje sobre el nominal.
- (i), es el tipo de interés en tantos por uno.
- (d), es el número de días que ha mantenido el inversor la letra en su poder.
- Precio de una letra para plazo superior al año (capitalización compuesta):
$$P_0=\frac{100}{(1+i)^{d/360}}$$
donde,
- (P_0), es el precio de la letra, expresado en porcentaje sobre el nominal.
- (i), es el tipo de interés en tantos por uno.
- (d), es el número de días que ha mantenido el inversor la letra en su poder.
- Precio entero de un bono (capitalización compuesta):
$$P_0=\sum_{ t=1}^{ n}\frac{F_t}{(1+r)^{t}}$$
donde,
- (P_0), es el precio entero de un bono o valor actual del mismo ($V_0$).
- (F_t), Flujos a percibir por la tenencia de un bono (cupón y principal).
- (r), es la TIR.
- (t), es el tiempo.
- Duración de Macaulay (o simplemente Duración):
$$D=\frac{\sum_{t=1}^{n}\frac{F_t\cdot t}{\left(1+r\right)^t}}{P}$$
donde,
- (D), Duración de Macaulay.
- (F_t), Flujos a percibir por la tenencia de un bono (cupón y principal).
- (P), es el precio entero de un bono o valor actual del mismo ($V_0$).
- (r), es la TIR.
- (t), es el tiempo.
- Duración corregida expresada en años:
$$D_{corregida}=\frac{Duracion\,de\, Macaulay}{\left(1+TIR\right)}=\frac{D}{\left(1+TIR\right)} $$
- Duración corregida expresada en porcentaje:
$$D_{corregida}=\frac{Duracion\,de\, Macaulay}{\left(1+TIR\right)}\cdot\frac{1}{100}$$
- Duración corregida para estimar el efecto en precio de variaciones en la TIR:
$$\frac{\Delta P}{P}\simeq \frac{P_1-P_0}{P_0}\simeq \left(-D_{corregida}\right)\cdot\Delta TIR$$
- Alternativamente, la Duración corregida para estimar el efecto en precio de variaciones en la TIR la podemos expresar como,
$$P_1\simeq P_0\cdot\left[1+((-D_{corregida})\cdot\Delta TIR)\right]$$
donde,
- (P_1), es el precio estimado del bono ante una variación de la TIR.
- (P_0), es el precio actual del bono .
- (D_{corregida}), es la duración corregida.
- Sensibilidad (o sensibilidad absoluta) ante cambios en el precio:
$$S=\frac{Duracion\,Macaulay }{\left(1+TIR\right)}\cdot\frac{Precio\,entero}{100}$$
$$S=Duracion\,corregida \cdot \frac{Precio\,entero}{100}$$
- Alternativamente, la sensibilidad (o sensibilidad absoluta) ante cambios en el precio la podemos expresar como,
$$S={Duracion\,corregida }\cdot{Precio\,entero}$$
Nota: esta expresión se utiliza el caso de haber tomado como la duración corregida la siguiente fórmula:
$$D_{corregida}=\frac{Duracion\,de\, Macaulay}{\left(1+TIR\right)}\cdot\frac{1}{100}$$
En el caso de haber tomado como como la duración corregida esta otra fórmula:
$$D_{corregida}=\frac{Duracion\,de\, Macaulay}{\left(1+TIR\right)}=\frac{D}{\left(1+TIR\right)} $$
Entonces la sensibilidad, necesariamente, debería expresarse así:
$$S= Duracion\,corregida \cdot \frac{Precio\,entero}{100}$$
- Sensibilidad del precio de un bono ante cambios de la TIR:
$$P_1-P_0\simeq (-S)\cdot\Delta TIR$$
donde,
- (P_1), es el precio estimado del bono ante una variación de la TIR.
- (P_0), es el precio actual del bono .
- (S), es la sensibilidad o sensibilidad absoluta.
- (\Delta TIR), variación porcentual de la TIR.
- Alternativamente, si despejamos $P_1$ de la fórmula anterior, la sensibilidad del precio de un bono ante cambios de la TIR también la podemos expresar como,
$$P_1\simeq P_0 ((-S)\cdot\Delta TIR)$$
- Convexidad:
$$C=\sum_{t=1}^n\frac{F_t\cdot t\cdot\left(t+1\right)}{\left(1+r\right)^{\left(t+2\right)}}$$
donde,
- (C), es la convexidad o convexidad absoluta .
- (F_t), Flujos a percibir por la tenencia del bono (cupón y principal).
- (r), es la TIR.
- (t), es el tiempo.
14.Precio entero; precio excupón y cupón corrido:
$$Precio\,entero = Precio\,excupón+cupón\,corrido$$
donde,
- Precio entero = Importe que realmente se desembolsa al comprar una emisión.
- Precio excupón = Importe que se cotiza en el mercado y que realmente sirve de referencia para negociar una transacción.
- Cupón corrido = Importe que se añade al precio excupón para determinar el precio entero. Refleja el montante del cupón devengado y pendiente de pago, que está incorporado en el valor del instrumento financiero.
Nota: es común encontrar la nomenclatura en inglés, como: Dirty price (precio sucio o entero) = Clean price (precio límpio o excupón) Accrued interest (cupón corrido).
- Cálculo del cupón corrido:
$$CC=\frac{D_c}{D_t}\cdot C$$
donde,
- (CC), es el cupón corrido.
- (D_{c}), es el tiempo transcurrido desde el pago del último cupón.
- (D_{t}), es el tiempo que transcurre entre el pago de dos cupones consecutivos
- (C), es el importe del cupón que se paga periódicamente.
- Liquidación contrato FRA:
$$FRA=\frac{N\cdot D\cdot\left(TL-TF\right)}{360+\left(TL\cdot D\right)}$$
donde,
- (N), importe nominal o nocional del contrato.
- (D), número de días del período de garantía.
- (TL), tipo de liquidación del FRA (Reuters/otros).
- (TF), tipo negociado en la compra venta del FRA
- Fórmula para pasar los tipos de interés en base 365 a 360 y viceversa:
$$i_{365}=\frac{365 }{360 }\cdot i_{360}$$
$$i_{360}=\frac{360 }{365 }\cdot i_{365}$$
- Tipo forward o implícito:
Para periodos inferiores al año:
$$(1+_{0}S_{2} \cdot \frac{2 }{12 })=(1+_{0}S_{1} \cdot \frac{1 }{12 })\cdot(1+f_{1,2}\cdot \frac{1 }{12 })$$
Para periodos superiores al año:
$$(1+_{0}S_{2})^{2}=(1+_{0}S_{1})^1\cdot(1+f_{1,2})^1$$
donde,
- (_{0}S_{1}), es el tipo spot o de contado; el subíndice que aparece a la derecha nos indica el momento en que dicho interés está vigente y, el de la derecha, el número de periodos de vigencia.
- (f_{1,2}), es el tipo forward obtenido a partir de los tipos spot; el subíndice nos indica el periodo en que dicho interés estará vigente.
Nota: en este ejemplo la ecuación representa un tipo forward o implícito a un año dentro de un año; asimismo se podrían calcular cualquier otro siempre que la Estructura Temporal de los Tipos de Interés (ETTI) tenga los tipos spot necesarios para ello.