M-1; Tema 2: Fundamentos de la Inversión (Matemáticas financieras).

• definiciones
  • capital financiero: cantidad monetaria situada en un determinado instante temporal (C_t, t )
  • operación financiera: intercambio entre sujetos económicos de capitales financieros situados en diferentes momentos del tiempo. Estos capitales són equivalentes

 

• sujetos de una operación financiera
  • sujeto activo/prestamista/acreedor: el que cede los capitales (prestación), durante un tiempo y recibe un precio llamado interés
  • sujeto pasivo/prestatario/deudor: el que recibe los capitales, comprometiendose a devolverlos en un futuro (contraprestación) y paga un precio

 

• capitalización: operación financiera en la que el sujeto activo cede un capital en un deterrminado momento para recuperarlo en un momento posterior, junto con el interés

 

 C_t  capital final: capital inicial + interés

 

• actualización: operación financiera en la que el sujeto pasivo se le anticipa un capital, disponible en el futuro a un momento anterior y por esta anticipación paga un descuento

C₀ capital inicial: capital final + interés

 

• precios financieros
  • precio total (interés o descuento) C_t – C
  • precio unitario (op tanto efectivo) (C_t – C_O) / C
  • precio unitario y medio (tanto nominal) (C_t – C_O) / (C t)

 

• precios financieros
  • interés implícito: cuando los sujetos acuerdan los precios de adquisición y amortización
  • interés explícito: cuando acuerdan un porcentaje

 

• interés simple vencido
  • C_t = C ( 1 + i · t )
  • para operaciones a corto plazo (menos de un año)
  • números comerciales:
    • se utilizan para calcular el saldo medio en cuentas corrientes
    • se calculan como el sumatorio de los productos saldo x días transcurridos dividido por el total de días transcurridos

 

• descuento matemático o racional
  • C = C_t / ( 1 + i · t )
  • para la valoración de letras del tesoro con vencimiento inferior a un año (en realidad 376 días)
  • en el descuento de letras del tesoro se utiliza como base el año comercial: 360 días

 

• descuento simple comercial
  • C_o = C_t ( 1 – d · t )
  • se utiliza cuando se quiere disponer ahora de un capital futuro conocido como valor nominal
  • para descontar pagarés de empresa, efectos comerciales, …
  • base de cálculo es el año comercial: 360 días

 

• interés simple anticipado
  • C_t = C / ( 1 – i_a t )
  • existe una equivalencia con el interés simple vencido: i = i_a / (1 – i_a t)

 

• interés simple compuesto
  • C_t = C ( 1 + i/k ) ^{t · k}
  • el plazo de la operación se divide en períodos de capitalización
  • para operaciones a largo plazo (más de un año)
  • para los períodos residuales, lo más habitual es aplicar el compuesto para los períodos enteros y el simple para la fracción

 

• descuento a interés compuesto
  • C_o = C_t ( 1 – d/k ) ^{t · k}  
  • para operaciones a largo plazo (más de un año)

 

• tipo spot (contado)
  • tipo de interés anual vigente hoy al que está el activo sin riesgo que se toma como referencia a dicho vencimiento (según mercado ISV < 1 año ; IC > 1 año)
  • la representación de los tipos spot asociados a los distintos vencimientos permite construir la curva de tipos de interés o estructura temporal de tipos de interés ETTI

 

• tipos forward (plazo)
  • a partir del ETTI podemos conocer el tipo forward entre dos vencimientos futuros

 

• convenciones de mercado
  • bases de cálculo
    • actual/360: mercados monetarios y €
    • actual/365: para cotización a clientes
    • actual/actual: bonos en €
  • fecha valor
    • 2 días hábiles: euromercados

 

• suma financiera
  • capital equivalente al conjunto de capitales
  • según el momento de valoración, tenemos
    • valor actual V
    • valor final V_F
  • esta valoración se realiza mediante capitalización o actualización a interés compuesto
  • las sumas financieras en cualquier momento son equivalentes entre si, si se utiliza IC

 

• rentas financieras
  • operaciones financieras en las que existen cobros y pagos, se definen como un conjunto de capitales financieros periódicos derivados de un mismo derecho
  • elementos:
    • términos de la renta: cada uno de los capitales
    • período: tiempo que media entre dos términos consecutivos
  • clasificación
    • constante / variable
    • temporal / perpetua
    • mensual /trimestral / anual / etc.
    • inmediata / diferida
    • post-pagable o vencida / pre-pagable o anticipada

 

• valor actual de una renta constante, inmediata y post-pagable
  • temporal: V = a · [ ( 1 – ( 1 + ( i / k ) ^–n ) / ( i / k ) ]
  • perpetua: V₀ = a · ( k / i )

 

• valor final de una renta constante, inmediata y post-pagable
  • aunque existe una fórmula, es más fácil capitalizar el valor actual

 

• valor actual de una renta variable en progresión aritmética
  • V = V renta constante y post-pagable · [ a + ( r / i ) + ( t · r ) ] – [ ( t · r ) / i ]
  • donde
    • V renta constante y post-pagable : de una renta de término 1
    • r : razón de progresión

 

• valor actual de una renta variable en progresión geométrica
  • V = a · [ ( 1 – gⁿ ( 1 + i )^-n ) / ( 1 + i – g ) ]
  • donde
    • g : razón de progresión (es 1,__)

 

• rentabilidad
  • relación existente entre los rendimientos obtenidos de una operación y el capital invertido o en un activo, variación en el valor de un activo durante un periodo t

 

• rentabilidad histórica de un activo
  • rentabilidad media que se puede calcular a partir de los datos que históricamente se han producido en el activo, durante el período que intereses considerado

 

• rentabilidad simple
  • RS = [ ( C_t + ( D – G )) – C ] / C₀ ó    RS_T = ( P_T + D_T – P_T-1 ) / P_T-1
  • donde
    • D – G : ingresos – gastos
    • P_T : precio del título al final del período T
    • D_T : suma aritmética de todos los ingresos percibidos durante el período T
    • P_T-1 : precio del titulo al inicio del período T
  • todos los flujos intermedios de la operación se reinvierten al 0%
• TIR: tipo efectivo anual que iguala los valores actuales de los flujos de cobros y pagos, dónde los flujos monetarios se reinvierten a un tipo de interés igual a la TIR

 

• tanto efectivo anual ( I )
  • tipo de interés equivalente al tanto nominal de la operación
  • para operaciones con acumulación periódica de intereses
  • I = ( 1 + i / k ) ^k – 1
  • si se conocen los capitales inicial y final, se puede calcular como I = ( C_t / C_o ) ^{1 / t} – 1

 

• tasa anual equivalente (TAE)
  • tanto efectivo anual tomando en consideración las condiciones impuestas por el Banco de España: en síntesis las comisiones

 

		tanto efectivo anual		TAE
operación sin comisiones	i, k	I = ( 1 + i / k ) k – 1
	C, Ct, k	I = ( Ct / Co ) 1 / t – 1
operación con comisiones	i, k	I = ( 1 + i / k ) k – 1	no se puede
	C, Ct, k	I = ( Ct / Co ) 1 / t – 1	I = ( Ct / Co ) 1 / t – 1

 

• tasa de rentabilidad efectiva (TRE)
  • es el tanto efectivo anual al que resulta una operación considerando la tasa de reinversión de los flujos intermedios
  • la TIR es un caso particular de la TRE

 

• tasa geométrica de rentabilidad (TGR)
  • es el tanto efectivo anual que hace equivalentes los valores inicial y final de una inversión temporal, dividida en períodos, teniendo en cuenta que los flujos intermedios que se producen en cada período se reinvierten en la misma inversión
  • TGR = [ ( 1 + RS₁ ) · ( 1 + RS₂ ) · …    ( 1 + RS_n ) ] ^{( 1 / t )}  – 1

 

• rentabilidad real
  • la tasa de rentabilidad que se obtiene si se descuenta el efecto de la inflación

 

• rentabilidad financiero-fiscal (RFF)
  • para un determinado inversor, es la rentabilidad que debe ofrecer un producto alternativo sin ventajas fiscales, para que, después de impuestos, acumule la misma cuantía final que un producto con ventajas fiscales
  • RFF = ( A + B ) / ( 1 – g ) , donde
    • A: interés del producto sin ventajas fiscales
    • B: ahorro fiscal
    • g: tasa marginal del inversor